Le co­ni­che

  1. Sto­ria e ruo­lo del­le co­ni­che nel­le ap­pli­ca­zioni
  2. An­ten­ne pa­ra­bo­liche
  3. Fari
  4. Vol­ta el­lit­ti­ca

Sto­ria e ruo­lo del­le co­ni­che nel­le ap­pli­ca­zioni

Lo stu­dio del­le co­ni­che ha ori­gi­ni an­ti­chis­si­me. Sem­bra che il pri­mo ma­te­ma­ti­co ad oc­cu­par­si  del­le se­zio­ni co­ni­che sia sta­to Menecmo (375-325 a.C), un ma­te­ma­ti­co gre­co di­sce­po­lo di Pla­to­ne e di Eudosso e ma­e­stro di  Ales­san­dro Ma­gno. Esse fu­ro­no sco­per­te nel ten­ta­ti­vo di ri­sol­ve­re con riga e com­pas­so i tre fa­mo­si pro­ble­mi di tri­se­zio­ne del­l'an­go­lo, du­pli­ca­zio­ne del cubo e qua­dra­tu­ra del cer­chio. Ini­zial­men­te una se­zio­ne co­ni­ca era de­fi­ni­ta come l’in­ter­se­zio­ne di un cono cir­co­la­re ret­to con un pia­no per­pen­di­co­la­re alla ge­ne­ra­tri­ce del cono: si ot­tie­ne in­fat­ti una pa­ra­bo­la se l’an­go­lo al ver­ti­ce è ret­to, un’el­lis­se se è acu­to, un’i­per­bo­le se è ot­tu­so.

La si­ste­ma­zio­ne ra­zio­na­le del­la trat­ta­zio­ne del­le co­ni­che av­ven­ne cir­ca 150 anni più tar­di gra­zie ad Apol­lonio di Perga (c. 262-190 a.C.), co­no­sciu­to come il Gran­de Ge­o­me­tra, il qua­le con­so­li­dò ed ap­pro­fon­dì i pre­ce­den­ti ri­sul­ta­ti nell’o­pe­ra Le Co­ni­che, la cui im­por­tan­za, pa­ra­go­na­bi­le agli Ele­men­ti di Eu­cli­de per la ge­o­me­tria sin­te­ti­ca, non fa­vorì ul­te­rio­ri svi­lup­pi nei se­co­li a se­gui­re, al­me­no dal pun­to di vi­sta pu­ra­men­te ge­o­me­tri­co. De­gli otto li­bri che com­po­ne­va­no l’o­pe­ra, solo tre sono giun­ti fino a noi nel­la ver­sio­ne ori­gi­na­le, di al­tri quat­tro ci sono per­ve­nu­te le tra­du­zio­ni dall’a­ra­bo e uno è an­da­to per­du­to. Apol­lonio fu an­che il pri­mo ad at­tri­bu­i­re i nomi di el­lis­se, pa­ra­bo­la, ed iper­bo­le alle co­ni­che. Tali nomi trag­go­no ori­gi­ne dal con­fron­to di due gran­dez­ze ca­rat­te­ri­stiche di cia­scu­na cur­va. El­lis­se vuol dire “man­can­za”, iper­bo­le si­gni­fi­ca "an­da­re ol­tre", e pa­ra­bo­la, "met­te­re ac­can­to". A dif­fe­ren­za di quan­to si ri­te­ne­va in pre­ce­den­za, Apol­lonio di­mo­strò che non era ne­ces­sa­rio pren­de­re se­zio­ni per­pen­di­co­la­ri a un ele­men­to del cono, e che da un uni­co cono era pos­si­bi­le ot­te­ne­re tut­te e tre le va­rie­tà di se­zio­ni co­ni­che sem­pli­ce­mente va­rian­do l’in­cli­na­zio­ne del pia­no di in­ter­se­zio­ne. Ciò rap­pre­sen­tava un no­te­vo­le pas­so in avan­ti ver­so la vi­sio­ne uni­ta­ria dei tre tipi di cur­ve. Una se­con­da im­por­tan­te ge­ne­ra­liz­za­zio­ne si ebbe quan­do Apol­lonio di­mo­strò che non era ne­ces­sa­rio che il cono fos­se ret­to (os­sia, aven­te l’asse per­pen­di­co­la­re alla base), ma che po­te­va be­nis­si­mo es­se­re an­che un cono ob­li­quo. In­fi­ne, Apol­lonio di­mo­strò che, so­sti­tu­en­do il cono a una fal­da con il cono a dop­pia fal­da, si po­te­va­no ot­te­ne­re tut­ti i tipi di se­zio­ni co­ni­che da un uni­co cono, al va­ria­re dell’in­cli­na­zio­ne del pia­no in­ter­se­can­te il cono.

Apol­lonio inol­tre fornì un gran­de con­tri­bu­to all’a­stro­no­mia gre­ca, ap­pli­can­do mo­del­li ge­o­me­tri­ci al moto dei pia­ne­ti. Pur ri­sul­tan­do in­te­res­san­te dal pun­to di vi­sta ma­te­ma­ti­co, lo stu­dio del­le co­ni­che per i Gre­ci ave­va scar­si in­te­res­si pra­ti­ci e ven­ne ab­ban­do­na­to per un lun­ghis­si­mo pe­rio­do.

Un cam­po in cui le co­ni­che ri­ve­sti­ro­no una no­te­vo­le im­por­tan­za fu l’arte, prin­ci­palmente du­ran­te il Ri­na­sci­men­to e il Ba­roc­co. Nel Ri­na­sci­men­to le co­ni­che (di­ver­se dal­la cir­con­fe­ren­za) non sono più pure for­me ge­o­me­tri­che, ma si ri­tro­va­no nel­le for­me pro­spet­ti­che di pit­to­ri e ar­chi­tet­ti. Quin­di du­ran­te il  Ba­roc­co la for­ma di el­lis­se com­pa­re ne­gli ar­chi e in al­cu­ne co­stru­zio­ni. In­fat­ti una ca­rat­te­ri­stica dell’arte di que­sto pe­rio­do è l’uso pri­vi­le­gia­to che si fece del­la li­nea cur­va: in que­sto pe­rio­do tut­to deve pren­de­re an­da­menti si­nu­o­si, per­si­no le gam­be di una se­dia o di un ta­vo­lo de­vo­no es­se­re cur­vi. Le cur­ve che un ar­ti­sta ba­roc­co usa non sono mai sem­pli­ci, qua­li un cer­chio, ma sono sem­pre più com­ples­se, come le el­lis­si. Ne sono un esem­pio le chie­se a pian­ta el­lit­ti­ca ri­sa­len­ti a que­sto pe­rio­do.

Le co­ni­che si ri­tro­va­no an­che in mol­ti set­to­ri del­la ma­te­ma­ti­ca e del­la fi­si­ca.

Nel XV se­co­lo lo stu­dio del­le Co­ni­che di Apol­lonio sarà an­che di gui­da a Ke­ple­ro (1571- 1630) per la for­mu­la­zio­ne del­le tre leg­gi sul moto dei pia­ne­ti che por­ta­no il suo nome. Ke­ple­ro for­mu­lò per le co­ni­che quel­lo che noi chia­miamo un prin­ci­pio di con­ti­nu­i­tà, nel sen­so che "vide" i di­ver­si tipi di se­zio­ni co­ni­che come for­man­ti un in­sie­me pri­vo di in­ter­ru­zio­ni o sal­ti. Dal­la se­zio­ne co­ni­ca for­ma­ta sem­pli­ce­mente da due ret­te in­ter­se­can­tisi, nel­la qua­le i due fu­o­chi co­in­ci­do­no con il pun­to di in­ter­se­zio­ne, si pas­sa at­tra­ver­so un nu­me­ro in­fi­ni­to di iper­boli via via che un fu­o­co si al­lon­ta­na sem­pre più dal­l'al­tro sen­za so­lu­zio­ne di con­ti­nu­i­tà. Quan­do poi un fu­o­co è in­fi­ni­ta­men­te lon­ta­no, non si ha più l'iper­bo­le a due rami, ma la pa­ra­bo­la. Quan­do il fu­o­co, con­ti­nuan­do a mu­o­ver­si, "ol­tre­pas­sa l'in­fi­ni­to" e tor­na ad av­vi­ci­nar­si dal­l'al­tra par­te, si pas­sa at­tra­ver­so un nu­me­ro in­fi­ni­to di el­lis­si fino a che, quan­do i fu­o­chi tor­na­no a co­in­ci­de­re, si ot­tie­ne la cir­con­fe­ren­za. For­se pos­so­no sem­bra­re con­cet­ti un po’ astrat­ti, ma oggi pos­sia­mo com­pren­de­re me­glio l’idea di Ke­ple­ro gra­zie all’uso del­le te­conologie in­for­ma­tiche (ad esem­pio Cabr Géomètre)
L'idea che la pa­ra­bo­la ab­bia due fu­o­chi di cui uno im­pro­prio, cioè al­l'in­fi­ni­to, è do­vu­ta a Ke­ple­ro, così come il ter­mi­ne fu­o­co (dal la­ti­no fo­cus, fo­co­la­re, de­ri­van­te dal­la pro­prie­tà fi­si­ca già nota ad Ar­chi­me­de, che, sem­bra, la uti­liz­zò con­tro le navi ro­ma­ne che as­se­dia­va­no Si­ra­cu­sa, per cui uno spec­chio pa­ra­bo­li­co con­cen­tra i rag­gi pa­ral­le­li pro­ve­nien­ti dal sole in un pun­to che è il fu­o­co ge­o­me­tri­co).

Un'al­tra im­por­tan­te ap­pli­ca­zio­ne è do­vu­ta a Ga­li­leo (1564- 1642), il qua­le di­mo­strò che il moto di un pro­iet­ti­le ha come tra­iet­to­ria una pa­ra­bo­la. Inol­tre le co­ni­che tro­va­ro­no im­por­tan­ti ap­pli­ca­zioni nel cam­po dei fe­no­me­ni on­du­la­to­ri. Per la leg­ge del­la ri­fles­sio­ne del­la luce, un pa­ra­bo­lo­i­de ro­ton­do, cioè una su­per­fi­cie ot­te­ni­bi­le fa­cen­do ruo­ta­re di un giro com­ple­to una pa­ra­bo­la at­tor­no al pro­prio asse pre­sen­ta par­ti­co­la­ri pro­prie­tà che gli per­met­to­no di es­se­re uti­liz­za­to come po­ten­te te­le­sco­pio, come ri­flet­to­re, come an­ten­na per le co­mu­ni­ca­zioni spa­zia­li, come ra­dio te­le­sco­pi.

L’in­te­res­se per le co­ni­che in cam­po non stret­ta­men­te ma­te­ma­ti­co ha sol­le­ci­ta­to i ma­te­ma­ti­ci del XVII a ri­pren­der­ne lo stu­dio. Si è svi­lup­pa­ta al­lo­ra la vi­sio­ne uni­ta­ria del­le co­ni­che come pro­ie­zio­ne del cer­chio su di un al­tro pia­no (De­sargues 1593-1662). Sarà que­sto il pri­mo pas­so ver­so quel­lo stu­dio or­ga­ni­co del­la ge­o­me­tria pro­iet­ti­va in­tra­pre­so poi da Pon­celet (1822).

I ri­sul­ta­ti ot­te­nu­ti da Apol­lonio per via sin­te­ti­ca, re­la­ti­vi alle pro­prie­tà del­le co­ni­che ver­ran­no poi rag­giun­ti, cir­ca 1800 anni più tar­di gra­zie al­l'in­tro­du­zio­ne di nu­o­vi me­to­di al­ge­bri­ci ba­sa­ti sul­le co­or­di­na­te car­te­sia­ne, ad ope­ra di Car­te­sio e Fer­mat, che per­mi­se­ro di ri­sol­ve­re pro­ble­mi e ve­ri­fi­ca­re pro­prie­tà in modo più sem­pli­ce, an­che se for­se meno af­fa­sci­nan­te.

Nell’o­pe­ra Géométrie, dal­la ri­so­lu­zio­ne del pro­ble­ma di Pap­po, Car­te­sio derivò l’e­qua­zio­ne ge­ne­ri­ca di una co­ni­ca pas­san­te per l’o­ri­gi­ne, che rap­pre­sen­tava il pun­to di vi­sta più uni­ta­rio che fos­se mai sta­to ap­pli­ca­to all’a­na­li­si del­le se­zio­ni co­ni­che. Car­te­sio spe­ci­ficò le con­di­zio­ni cui do­ve­va­no sod­di­sfa­re i co­ef­fi­cien­ti per­ché la co­ni­ca fos­se una ret­ta, una pa­ra­bo­la, un’el­lis­se o un’i­per­bo­le: tale ana­li­si equi­va­le­va, in un cer­to sen­so, all’a­na­li­si del­la ca­rat­te­ri­stica dell’e­qua­zio­ne di una co­ni­ca. In se­gui­to, gra­zie all’o­pe­ra di Fer­mat, si di­mo­strò che l’e­qua­zio­ne di una co­ni­ca ge­ne­ri­ca è un’e­qua­zio­ne al­ge­bri­ca di se­con­do gra­do in x e y.

Nel­lo stes­so se­co­lo Blaise Pa­scal (1623-1662) a 16 anni scris­se il “Sag­gio sul­le se­zio­ni co­ni­che”, in cui for­mu­lò uno dei fon­da­men­ta­li te­o­re­mi di ge­o­me­tria pro­iet­ti­va, noto come Te­o­re­ma di Pa­scal: i sei ver­ti­ci di un esagramma giac­cio­no su una co­ni­ca se e solo se i pun­ti di in­ter­se­zio­ne del­le tre cop­pie di lati op­po­sti giac­cio­no su una stes­sa ret­ta (vedi fi­gu­ra se­guen­te).

Le se­zio­ni co­ni­che sono uno dei più ampi e clas­si­ci ar­go­men­ti del­la ma­te­ma­ti­ca ed uno di quel­li che ha sti­mo­la­to i mag­gio­ri pro­gres­si in que­sta scien­za. Tut­ta­via esse non ri­man­go­no con­fi­nate nell’am­bi­to pu­ra­men­te ma­te­ma­ti­co, ma nel­la sto­ria han­no tro­va­to in­nu­me­re­vo­li ap­pli­ca­zioni an­che in al­tri cam­pi, che han­no per­mes­so di  com­pren­der­ne l’im­por­tan­za an­che ai non-ma­te­ma­ti­ci. Al­tre ap­pli­ca­zioni, de­ri­van­ti da pro­prie­tà ge­o­me­tri­che, ver­ran­no date nel cor­so del­la trat­ta­zio­ne dei con­te­nu­ti.

An­ten­ne pa­ra­bo­liche

La pa­ra­bo­la for­ni­sce un ec­cel­len­te modo per am­pli­fi­ca­re i su­o­ni pro­ve­nien­ti da una par­ti­co­la­re po­si­zio­ne e allo stes­so tem­po at­te­nua­re tut­ti gli al­tri su­o­ni. Nel­la pa­ra­bo­la, tut­te le onde so­no­re pa­ral­le­le al suo asse ven­go­no ri­fles­se in un uni­co pun­to det­to fu­o­co.  Po­nen­do un picccolo mi­cro­fo­no pro­prio in que­sto pun­to si ri­ce­verà tut­ta l'ener­gia che col­pi­sce il piat­to del­la pa­ra­bo­la.  No­ta­re che da solo, que­sto mi­cro­fo­no ri­ce­ve solo una pic­co­la par­te del­l'ener­gia ema­na­ta dal­la sor­gen­te so­no­ra, e ciò che è peg­gio, ri­ce­ve an­che an­che al­tri su­o­ni in­de­si­de­rati pro­ve­nien­ti da al­tre di­re­zio­ni ren­den­do qua­si im­pos­si­bi­le iso­la­re ed udi­re il su­o­no o la con­ver­sa­zio­ne de­si­de­ra­ti. Se si pone un mi­cro­fo­no nel fu­o­co di una pa­ra­bo­la con  piat­to di cir­ca 50 cm di dia­me­tro la si­tua­zio­ne è ben di­ver­sa. La su­per­fi­cie che ri­ce­ve le onde so­no­re è in­fat­ti cir­ca 5000 vol­te mag­gio­re di quel­la che of­fre il mi­cro­fo­no da solo. In tal modo, an­che la quan­ti­tà di ener­gia so­no­ra che col­pi­sce il mi­cro­fo­no vie­ne in­cre­men­tata di 5000 vol­te, e cosa an­co­ra più ap­prez­za­bi­le, sa­ran­no ri­ce­vu­ti solo i su­o­ni de­si­de­ra­ti. Sul­lo stes­so prin­ci­pio ov­via­men­te si ba­sa­no le pa­ra­bo­le sa­tel­li­ta­ri po­ste sui tet­ti del­le no­stre case: non si trat­ta più di onde so­no­re, ma ma­gne­ti­che; non c'e più il mi­cro­fo­no ma un ap­po­si­to con­ver­ti­to­re.

I fari

Gli spec­chi ustori ed i ri­flet­to­ri dei fari uti­liz­za­no lo stes­so  prin­ci­pio in modo op­po­sto e quin­di è pre­su­mi­bi­le sia­no sta­ti sco­per­ti nel­lo stes­so pe­rio­do. Pro­ba­bil­mente il pri­mo faro ad uti­liz­za­re le pro­prie­tà fo­ca­li del­la pa­ra­bo­la fu pro­prio il faro di Ales­san­dria, con­si­de­ra­to al­l'epo­ca una del­le set­te me­ra­vi­glie del mon­do. Il suo nome de­ri­va dall’i­so­la di Pha­ros, che si tro­va­va di fron­te al por­to cit­ta­di­no. Si dice che fos­se alto 85 me­tri e che po­tes­se es­ser vi­sto a cir­ca 50 km di di­stan­za. Fu co­stru­i­to nel 280 a. C., cioè nel­l'epo­ca e nei luo­ghi in cui lo stu­dio del­le co­ni­che da par­te dei Gre­ci era in pie­no svi­lup­po. Sol­tan­to nel XVII se­co­lo con la ri­pre­sa del­lo stu­dio del­le co­ni­che ven­ne re­cu­pe­ra­ta an­che que­sta arte.
Ai no­stri gior­ni an­che i fari del­le au­to­mo­bi­li ed i pro­iet­to­ri in ge­ne­re uti­liz­za­no lo stes­so prin­ci­pio.

La ca­me­ra a vol­ta el­lit­ti­ca

Una pro­prie­tà dei fu­o­chi di un'el­lis­se con­si­ste nel fat­to che la per­pen­di­co­la­re all’el­lis­se in un suo pun­to qual­sia­si di­vi­de per metà l’an­go­lo for­ma­to dai seg­men­ti che uni­sco­no que­sto pun­to con i due fu­o­chi. Di con­se­guen­za un rag­gio di luce che par­te da uno dei fu­o­chi e si ri­flet­te sull’el­lis­se, pas­sa per l’al­tro fu­o­co. Lo stes­so vale per le onde so­no­re: se si par­la, o ad­di­rit­tu­ra si bi­sbi­glia, in un fu­o­co di una ca­me­ra a vol­ta el­lit­ti­ca, le onde so­no­re si ri­flet­teranno sul­la vol­ta e an­dran­no a con­cen­trar­si di nu­o­vo nell’al­tro fu­o­co, dove pos­so­no es­se­re udi­te da una per­so­na che oc­cu­pa quel­la po­sta­zio­ne.

 

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