Impianto dei 4 cerchi Aurei.
A par­ti­re da un cer­chio di rag­gio = 1 e cen­tro X e dai tre cer­chi con­cen­tri­ci [il cui rag­gio è] in ri­du­zio­ne au­rea pro­gres­si­va ver­so l´in­ter­no, con­si­de­ria­mo dal ver­ti­ce A uno dei due lati tan­gen­ti al pri­mo cer­chio di rag­gio , che in­con­tri il cer­chio ester­no in Z.
Data l´egua­glian­za di AX ed XZ, M sarà il pun­to di tan­gen­za non­ché me­dio di AZ ed il rag­gio XM, per­pen­di­co­la­re ad AZ, chiu­derà il trian­go­lo ret­tan­go­lo AXM.
Inol­tre, in vir­tù del­le sim­me­trie cir­co­la­ri i pun­ti di tan­gen­zia­lità sono al cen­tro di cia­scu­no dei lati, per­tan­to la li­nea me­dia­na che uni­sce i due pun­ti medi del lati ob­li­qui (M ed il suo spe­cu­la­re) ri­sul­ta tan­gen­te al cer­chio c2, ove come ve­dre­mo è equi­di­stan­te dal cer­chio pri­ma­rio c0 e dal­l´estre­mi­tà in­fe­rio­re di c3, men­tre gli stes­si pun­ti medi dei lati sono equi­di­stan­ti dai pun­ti più pros­si­mi del cer­chio pri­ma­rio e del ter­zo c3.

Trac­cia­ta la li­nea oriz­zon­ta­le tan­gen­te al pun­to in­fe­rio­re H del cer­chio mi­no­re, po­tre­mo dire che essa in­con­tra il cer­chio pri­mo in Z se ve­dre­mo sod­di­sfat­ta la con­di­zio­ne AZ : AX = AH : AM, co­sti­tu­en­do in tal caso la base del trian­go­lo AHZ e, per esten­sio­ne sim­me­tri­ca, di tut­to il trian­go­lo in­scrit­to. A di­mo­strar­lo, basterà ap­pli­ca­re il te­o­re­ma di Pi­ta­go­ra ai due trian­go­li AHZ ed AMX. De­fi­ni­ti i va­lo­ri AH dal­la som­ma del rag­gio mag­gio­re (1) e del mi­no­re;
AX = 1
XH = ³
AH = 1+³
ove Phi(3) sia in­te­so in va­lo­re as­so­lu­to, e di
AM = 1–²
avre­mo:
AZ = AM×2
ov­ve­ro­sia:
AZ = (1–²) ×2
Gra­zie alla for­mu­la pi­ta­go­ri­ca ap­pli­ca­ta ad AXM, ot­ter­re­mo così un'equa­zio­ne il cui svi­lup­po è sem­pli­fi­ca­bile quan­to ba­sta al­l´im­me­dia­ta let­tu­ra.

Con =.6180339, cioè po­si­ti­vo, si ot­ter­rà per­tan­to:

(1–²) ×2 =
1+³
1–²
su­bi­to ri­con­du­ci­bi­le a:

(1–²) ×2 = 1+³

la di­mo­stra­zio­ne numeri­ca

Tra le tan­te pos­si­bi­li­tà di di­mo­strare l´as­sun­to, adotta­to per pra­ti­ci­tà il va­lo­re as­so­lu­to di Phi, po­tre­mo so­sti­tu­i­re nel­la for­mu­la:

(1–)  a  2  e
–(–1) ­/ (+1)  a  3

ot­te­nen­do:
(1–2) ×2 = 1+3
(1–(1–)) ×2 = 1–(–1) ­/ (+1)

os­sia, con qual­che sem­pli­ce pas­sag­gio:
×2 = 1– (–1) ­/ (+1)
= ((+1)–(–1)) ­/ (+1)
×(+1) = (+1) – (–1)
2×(2+) = +1 –+1

e po­i­ché 2 è  (1–)

2×((1–)+) = 2

evi­den­te­mente:
2×(1) = 2


E così, la geometria ha sempre avuto "tre" grandi tesori.
P. S. - Il teorema è stato a suo tempo sot­to­po­sto a Wikipedia, ma venne rifiutato con una certa arroganza. Sia detto senza ombra di rivalsa, che non avrebbe fondamento con questa ete­ro­clita organizzazione, presso la quale la matematica è un´opinione; ma ri­ten­go do­ve­ro­so renderlo noto d´ufficio.

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